Le théorème de Nichon-Pythagore en 3D

Dans un «tétraèdre-cube», le carré de l’aire du grand triangle est égal à la somme des carrés des aires des trois petits triangles.

J’appelle «tétraèdre-cube» un machin à quatre points OABC, avec :

  • (OA) _|_ (OBC): la droite (OA) est perpendiculaire au plan (OBC)
  • (OB) _|_ (OAC)
  • (OC) _|_ (OAB)

Ouais je sais, mes symboles perpendiculaire sont fait à l’arrache et ressemblent à des bites avec les couilles plates. Eh bien ranafout.

Les longueurs [OA], [OB], [OC] sont quelconques. On les appelle respectivement a, b et c. (Wouhou, quelle originalité! Je suis un ouf guedin lad’ma!!)

Donc, avec une figure en troidé comme ceci:

asshley OABC

Le théorème de Nichon-Pythagore en 3D dit:

(aire de ABC)² = (aire de OAB)² + (aire de OBC)² + (aire de OAC)²

Ça vous impressionne hein? C’est du true powerfulshipness, que même que quand j’ai annoncé ça au plus grand mathémagicien du monde, il s’est mis à regarder le ciel et à prier l’avènement du nouveau mathémamessie!!!

mathemagicien

Bon c’est chouette, mais il faut le démontrer.

Sans vouloir faire mon mec over-powerfulshipnessful, je précise que j’ai trouvé et démontré ce théorème en Terminale. À l’époque, j’avais calculé directement l’aire de ABC, tel le gros bourrin de base. Au passage, il m’avait fallu trouver la formule générale de l’aire d’un triangle, en fonction de la longueur de ses trois côtés, mais j’en étais plus à ça près.

Cette démo bourrine sera récupérable ici (quand je l’aurai écrite), dans un document au format sxw et au format pdf. Je la mettrai pas directement dans l’article, car c’est encore plus imbuvable que ce que je vais vous présenter maintenant.

J’ai grandi depuis la terminale (ha ha, même pas vrai) et j’ai découvert une démonstration plus élégante, plus simple et, « surprise! », y’avait des photos de femmes avec!! Je vous livre le tout ici.

Bon, en vrai, c’est parce qu’on peut pas écrire d’équations dans ce putain de blog. J’ai donc tout foutu sous forme d’images et j’y ai bien évidemment ajouté des femmes comme j’aime. Vous verrez, ça aide à la compréhension.

L’une des démonstrations du théorème classique de Pythagore en 2D consiste à exprimer de deux façons différentes l’aire du triangle-rectangle. Une avec les deux petits côtés, une autre avec l’hypoténuse. Je m’en suis inspiré, en exprimant le volume de mon tétraèdre-cube de deux façons différentes aussi. Une avec l’aire des trois petits triangles, une autre avec l’aire de ABC. Pour cette dernière, on aura besoin de calculer la taille du segment [OH], hauteur du tétraèdre s’appuyant sur ABC.

Les étapes de ma démonstration seront donc les suivantes:

  • Calcul des trois aires des triangles OAB, OBC et OAC. (fastoche)
  • Calcul du volume du tétraède OABC (fastoche aussi)
  • Détermination de la position du point H et aussi d’un point I, tant qu’à faire.
  • Calcul de la longueur du segment [OH].
  • Calcul de l’aire de ABC, rassemblage de tout le bordel précédent et vérification du théorème.
  • Orgie romaine avec de l’alcool et des jolies filles.

BBW Dance Party by derrickfish

Calcul des aires des triangles OAB, OBC et OAC

C’est pas compliqué, ce sont tous des putains de triangles, rectangles en O. C’est-à-dire des moitiés de rectangle. On a donc:

aire de OAB = (OA * OB) / 2 = (a.b) / 2
aire de OBC = (OB * OC) / 2 = (b.c) / 2
aire de OAC = (OA * OC) / 2 = (a.c) / 2

Calcul du volume du tétraède OABC

Le volume d’un putain de tétraèdre, c’est B * h / 3. Avec B la surface d’une base du tétraèdre et h la hauteur du tétraèdre s’appuyant sur cette base.

Comme OABC a des angles droits de partout, on peut prendre comme base le triangle OAB, et comme hauteur correspondante le segment [OC].

Ça nous y fait:

lisa_lipps-eq Lisa Lipps photoclubs

Évidemment, si on part d’un autre triangle O-machin-truc on retombe sur le même résultat. Je vous laisse vérifier ça avec votre cerveau boudiné.

Ah et juste pour faire mon malin: le volume d’un tétraèdre, ça se démontre tout connement, avec une intégrale gribouillée sur un coin de table, entre le fromage, la poire et le cul de la patronne. On prend un point X qui se déplace de O vers C. L’aire du triangle correspondant vaut (aire de OAB) * (x/c)². Hop, intégrale de ce machin pour x variant de 0 à c et crac boum ça y est. Mais on s’en fout un peu.

Détermination de la position du point H.

Le point H sert à fabriquer la hauteur du tétraèdre s’appuyant sur le triangle ABC. Il est super cool ce point, parce qu’après on pourra faire:

Volume = ((aire de ABC) * OH) / 3.

Ce point H est donc placé tel que:

  • (OH) _|_ (ABC)
  • H ∈ (ABC).

La deuxième ligne avec le E tout bizarre, ça signifie: « H appartient au plan ABC ». Je le précise pour les grosses tanchasses qu’ont oublié leurs cours de maths ou qu’ont fait Littéraire.

Digression: on râle parce que l’histoire-géo va être virée de la terminale Scientifique. Mais personne râle sur le fait que les terminales Littéraire font pratiquement pas de maths ni de physique. Ça me fait bien marrer. Vous allez me répondre que les maths et la physique c’est moins utile que l’histoire-géo. OK d’accord. Mais dans un souci d’équilibrage des deux filières, faudrait que les Littéraires fassent quand-même des trucs un peu scientifiques, et potentiellement utiles; genre de l’informatique généraliste, de la mécanique appliquée à la bagnole, de la logique, de la euh… modélisation de concept avec des langages rigolos comme l’UML. Enfin faut trouver des trucs merde! Parce qu’après on se retrouve avec des gens qui croient que le Scientifique c’est pour les bons élèves et le Littéraire c’est pour les grosses buses. Et le pire c’est qu’ils auraient presque raison ces connards.

Édit 16/06/2013: « Littéraire, Scientifique, Économique et Sociale »: ça s’appelle plus comme ça maintenant, et ça s’appelait pas encore comme ça à la génération précédente. Je comprends jamais rien à leurs trucs, c’est pas grave, c’est l’éducation nationale.

Bon, ça suffit la récréation. On y retourne.

J’aurais aussi besoin du point I, tel que

  • (OI) _|_ (AB)
  • I ∈ (AB)

mm phone OABCIH monique

Là comme ça, au feeling, on a l’impression que les points I, H et C sont alignées, et que (OH) _|_ (IC), ce qui nous arrangerait vachement pour calculer la longueur OH. Mais bon, il faut quand même le démontrer, sous peine de se faire jeter des cailloux dessus par les grecs.

Héhéhéé! Là, on arrive au moment de la démonstration que je préfère, parce que je fais joujou avec les relations «appartient à», «perpendiculaire», «parallèle», etc. On pourrait presque ne pas s’aider de la figure. Avec uniquement les hypothèses de départ et quelques axiomes tout con, ça se torcheraide tac tac direct.

Allons-y:

  • (OAB) _|_ (OC), on l’a dit dès le début

Donc : (AB) _|_ (OC)

Justification: quand une droite est perpendiculaire à un plan, elle est perpendiculaire à toutes les droites appartenant à ce plan.

  • (AB) _|_ (OC)
  • (AB) _|_ (OI), on l’a dit dès le début

Donc: (AB) _|_ (OCI)

Justification: quand une droite est perpendiculaire à deux droites sécantes, elle est perpendiculaire au plan défini par ces deux droites.

  • (AB) _|_ (OCI)
  • (AB) ∈ (ABC)         ha ha ha!!! Captain Obvious!! Trop drôle!

Donc: (ABC) _|_ (OCI)

Justification: 2 plans sont perpendiculaires si l’un des plans contient une droite perpendiculaire à l’autre. Ouais ça a l’air bizarre comme truc, mais c’est pas moi qui le dit, c’est wikipedia (http:// fr.wikipedia.org/wiki/Perpendicularit%C3%A9).

Cela dit, wikipedia ajoute que «La notion de plans perpendiculaires, bien qu’intuitive, est très dangereuse car elle ne possède pratiquement aucune propriété». Donc, faites pas les cons avec, OK?

teacher boobs plans perpendiculaires

  • (ABC) _|_ (OCI)
  • (ABC) _|_ (OH), on l’a dit dès le début.

Donc: (OH) // (OCI)

Justification: Quand un plan est perpendiculaire en même temps à une droite et à un autre plan, alors cet autre plan et cette droite sont parallèles.

Justification de la justification: C’est une sorte d’équivalent en 3D du théorème 2D tout con: «Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles entre elles».

  • (OH) // (OCI)
  • (OH) et (OCI) ont un point en commun (le point O. Ho ho ho).

Donc: (OH) ∈ (OCI)

Justification: faites pas exprès d’être con bordel! Si ça c’est pas un beau Captain Obvious de la mathématique!

O, H ,C et I sont coplanaires. Youpi. Autrement dit:

les points I, H et C ∈ (OIC)

Là comme ça, on pourrait croire que ça sert à rien (comme tout le reste de cet article). Mais attendez la suite.

On continue dans les Captain Obvious super poilants:

  • I ∈ (AB), on l’a dit dès le début. Donc I ∈ (ABC)
  • H ∈ (ABC), on l’a dit dès le début.
  • C ∈ (ABC). Honkr honkr honkr grou grou brouik brouik.

Hop, on claque tout ça ensemble:

  • Les points I, H et C ∈ (OIC)
  • Les points I, H et C ∈ (ABC)

Donc, ça veut dire que les points I, H et C appartiennent à la droite d’intersection des plans (OIC) et (ABC).

Donc-donc, I, H et C sont alignés!!

Putain, comment je suis trop soulagé de l’apprendre!

Et sinon, juste pour info:

  • (IC) ∈ (ABC)
  • (OH) _|_ (ABC)

Donc: (OH) _|_ (IC)

Justification: quand une droite est perpendiculaire à un plan, elle est perpendiculaire à toutes les droites appartenant à ce plan. Oui on l’a déjà dit, je sais, faites pas chier.

Voilà. Et maintenant, continuons vers du un peu plus bourrin.

Calcul de la longueur du segment [OH].

Quoi, déjà? Nan attendez, avant il faut calculer la longueur du segment [OI], que l’on appellera «i», car tel est mon bon vouloir.

On oublie toute cette 3D bordélique et on prend juste le triangle OAB.(Avec I dedans).

Busty Leah Jane OAB

OAB est un triangle rectangle en O.

OA est l’une de ses hauteurs, OI aussi. (Et la troisième c’est OB, mais osef)

  • aire de OAB = (OA * OB) / 2
  • aire de OAB = (OI * AB) / 2

Donc: OA * OB = OI * AB

Donc-donc: a * b = i * AB

qt_front08_eq Big Cutie QT Pie

C’est la fête. Et maintenant on va pouvoir calculer la longueur du segment [OH], que l’on appellera h par souci de dinguerie et de funisme.

On reste dans la 2D, avec cette fois-ci le triangle OIC. Sans oublier le point H, puisqu’on a démontré y’a pas longtemps que H est situé sur la droite (IC) et que (OH) _|_ (IC).

ChardaXL 1 OIC

C’est la même démarche que pour le triangle d’avant. Donc je vous le fais un peu plus rapide.

OC * OI = OH * IC

c * i = h * IC

bombe tabouret eq ChardaXL

Voilà. On est content.

Calcul de l’aire de ABC, rassemblage de tout le bordel précédent et vérification du théorème.

On appelle «Air » l’aire de ABC. Je sais c’est nul. Je voulais mettre un gros A bien classe, écrit avec une police top tendance, qui ferait genre les majuscules qu’on nous apprend à écrire à l’école primaire et qui font saigner des yeux. Sauf que dans les équations, on peut pas mettre des polices différentes. Donc Fail. Désolé.

bbw noir eq

Melonie Rose

Orgie romaine avec de l’alcool et des jolies filles.

Je suis un peu fatigué là. J’ai la migraine. Je vous propose donc une orgie romaine virtuelle chez les Sims:

Burnside_8_0409 Sims Orgy

Pour ceux qui veulent un document mieux foutu

Les équations y sont sous une forme un peu plus réutilisable que des images. Mais y’a pas les belles nanas.

  • Au format pdf (http ://sites.google.com/site/recherland/Home/theoreme-nichon-pythagore-en-3d/theoreme_pyth_3D-v0-7.pdf).

6 réponses à “Le théorème de Nichon-Pythagore en 3D

  1. Comme toujours, les sources de mes splendides images.

    Asshley, du site Big Cuties.
    http://cur.lv/13fxc
    http ://asshley.bigcuties.com/

    Y’a un jeu de mot avec son nom. Saurez-vous le trouver ?

    Le mathémagicien.
    http://cur.lv/13fxd
    http ://www .dailymotion.com/video/x6pkyk_mathemagiciencalculatrice-humaine_news

    Le monsieur est content, il peut calculer plus vite qu’une calculatrice. Comme ça quand son docteur lui fait un lavement, il peut se dire « mmmhhh… je lave ma calculatrice !! »

    Un très joli dessin.
    http://cur.lv/13fxe
    http ://derrickfish.deviantart.com/art/BBW-Dance-Party-96120132

    Quand on clique dessus pour le voir en plus grand y’a une espèce de watermark toute pourrie. Par contre y’a aucune licence ni rien. Je croyais que deviantart était un peu plus sérieux sur ce sujet. Ou alors c’est moi qu’ai rien compris.

    Lisa Lipps.
    http://cur.lv/13fxf
    http ://www .photoclubs.com/lisa/

    Cette personne se trouve sur photoclubs, l’un des premiers sites de nichons que j’ai visité lorsque j’ai découvert internet (au boulot de mon papa, hurk hurk hurk fap fap zblorg honkr honkr honkr grou grou brouik brouik).

    Elle, c’est Monique. Lien mort. Webarchive à la rescousse.
    http://cur.lv/13fxg
    http ://web.archive.org/web/20101201000010/http://touchmommy.com/big-tit-mommy-phone-sex.php

    Il y a des images d’elle un peu partout. Par contre, celle-ci, je l’ai trouvée sur un site qu’a rien à voir. Un truc de téléphone sexe ou tu peux appeler ta maman, ou quelque chose comme ça. Pas tout compris.

    Maîtresse d’école.
    http://cur.lv/13fxh
    http ://my-first-sex-teacher.blogbugs.org/1180627/Busty-Blonde-gets-slammed-hard-in-classroom…Movies.html

    Je suis pas sûr que ce soit un avion en papier dans les boobs. De toute façons, ça se passe comme ça dans la réalité. Les maîtresses d’école ont des gros seins, on balance ce qu’on veut dedans, et ça leur fait vraiment plaisir. Après on a des bonnes notes et des réunions élèves-profs, chez elles. Ben oui, en vrai, elles demandent pas le carnet de correspondance pour un truc sympa et poli comme le balançage d’avion !!

    Busty Leah Jane.
    http://cur.lv/13fxi
    http ://www.blondebbws.com/

    C’est une femme. Et elle héberge des triangles dans son espace d’expression nichonien.

    QT Pie, à nouveau sur le site Big Cuties.
    http://cur.lv/13fxj
    http ://qtpie.bigcuties.com/

    Un autre super jeu de mot se dissimule dans le nom de cette damoiselle. « QTPie » = « Cutie Pie ». Littéralement : « une tarte à la mignonne ». Pas compris.

    ChardaXL (deux images)
    http://cur.lv/13fxk
    http ://bbwsource.blogspot.com/2010/01/whole-new-decade.html

    Cette fille en minirobe bleu est MAGNIFIQUE. Des formes superbes !! J’espère que le mec qui s’occupe du blog « bbwsource » va rajouter des photos d’elle. (En attendant, je vous conseille de le visiter en entier, il est fin bien !)

    Dame en noire allongée.
    http://cur.lv/13fxm
    http ://open.salon.com/blog/frogtown_diva/2009/03/30/read_this_before_april_a_300lb_stripper_will_sit_on_you

    « Lisez ça avant avril et une strip-teaseuse de 300lbs va s’asseoir sur vous ». Comment ça fonctionne ? Ah j’ai compris, le site récupère ton adresse IP, fait une triangulation avec les antennes de portables et les dessous de bras de McGee, récupère ta position géographique et envoie la strip-teaseuse par Chronopost. Putain, et dire que j’ai loupé ça. Fichue réalité. Jamais à la hauteur de ce qu’on rêve.

    Melonie Rose. Lien mort. Webarchivage tadzam.
    http://cur.lv/13fxl
    http ://web.archive.org/web/20070301095451/http://www.melonierose.com/bio.html

    Ca fait longtemps que j’entend plus parler d’elle. Je serais curieux de savoir ce qu’elle devient.

    Orgie de Sims.
    http://cur.lv/13fxn
    http ://www .radix.net/~moxie/Orgies/orgy15.htm

    Aaahhh, cette réalité. Toujours prête à nous faire de bonne surprise. Ca m’est arrivé une fois. Mais c’est con, j’avais pas mon déguisement de mec à poil.

  2. Pingback: Fermat (cochon) « Réchèr : le Grand Tout

  3. De rien, m’sieur Defesse.

    Même si je ne suis pas sûr de savoir de quoi tu parles. Cet article n’est pas vraiment un « tuto », mais une démonstration mathématiques.

    Dans tous les cas, merci pour ton petit coucou.

    Gnoll Robby.

  4. Les grosses tanchasses qui ont fait littéraire (et qui, accessoirement corrigent tes fautes) t’emmerdent royalement!

  5. Merci de corriger mes fautes !

    Euh… juste pour savoir comme ça : c’est normal qu’il y ait une majuscule à « Littéraire » dans l’article, et qu’il n’y en ait pas dans ton commentaire ?

    Sur ce, je vais peut-être aller me coucher.

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