Le théorème de Nichon-Pythagore en 3D

Dans un «tétraèdre-cube», le carré de l’aire du grand triangle est égal à la somme des carrés des aires des trois petits triangles.

J’appelle «tétraèdre-cube» un machin à quatre points OABC, avec :

• (OA) _|_ (OBC): la droite (OA) est perpendiculaire au plan (OBC)
• (OB) _|_ (OAC)
• (OC) _|_ (OAB)

Ouais je sais, mes symboles perpendiculaire sont fait à l’arrache et ressemblent à des bites avec les couilles plates. Eh bien ranafout.

Les longueurs [OA], [OB], [OC] sont quelconques. On les appelle respectivement a, b et c. (Wouhou, quelle originalité! Je suis un ouf guedin lad’ma!!)

Donc, avec une figure en troidé comme ceci:

Le théorème de Nichon-Pythagore en 3D dit:

(aire de ABC)² = (aire de OAB)² + (aire de OBC)² + (aire de OAC)²

Ça vous impressionne hein? C’est du true powerfulshipness, que même que quand j’ai annoncé ça au plus grand mathémagicien du monde, il s’est mis à regarder le ciel et à prier l’avènement du nouveau mathémamessie!!!

Bon c’est chouette, mais il faut le démontrer.

Sans vouloir faire mon mec over-powerfulshipnessful, je précise que j’ai trouvé et démontré ce théorème en Terminale. À l’époque, j’avais calculé directement l’aire de ABC, tel le gros bourrin de base. Au passage, il m’avait fallu trouver la formule générale de l’aire d’un triangle, en fonction de la longueur de ses trois côtés, mais j’en étais plus à ça près.

Cette démo bourrine sera récupérable ici (quand je l’aurai écrite), dans un document au format sxw et au format pdf. Je la mettrai pas directement dans l’article, car c’est encore plus imbuvable que ce que je vais vous présenter maintenant.

J’ai grandi depuis la terminale (ha ha, même pas vrai) et j’ai découvert une démonstration plus élégante, plus simple et, « surprise! », y’avait des photos de femmes avec!! Je vous livre le tout ici.

Bon, en vrai, c’est parce qu’on peut pas écrire d’équations dans ce putain de blog. J’ai donc tout foutu sous forme d’images et j’y ai bien évidemment ajouté des femmes comme j’aime. Vous verrez, ça aide à la compréhension.

L’une des démonstrations du théorème classique de Pythagore en 2D consiste à exprimer de deux façons différentes l’aire du triangle-rectangle. Une avec les deux petits côtés, une autre avec l’hypoténuse. Je m’en suis inspiré, en exprimant le volume de mon tétraèdre-cube de deux façons différentes aussi. Une avec l’aire des trois petits triangles, une autre avec l’aire de ABC. Pour cette dernière, on aura besoin de calculer la taille du segment [OH], hauteur du tétraèdre s’appuyant sur ABC.

Les étapes de ma démonstration seront donc les suivantes:

• Calcul des trois aires des triangles OAB, OBC et OAC. (fastoche)

• Calcul du volume du tétraède OABC (fastoche aussi)

• Détermination de la position du point H et aussi d’un point I, tant qu’à faire.

• Calcul de la longueur du segment [OH].

• Calcul de l’aire de ABC, rassemblage de tout le bordel précédent et vérification du théorème.

• Orgie romaine avec de l’alcool et des jolies filles.

Calcul des aires des triangles OAB, OBC et OAC

C’est pas compliqué, ce sont tous des putains de triangles, rectangles en O. C’est-à-dire des moitiés de rectangle. On a donc:

aire de OAB = (OA * OB) / 2 = (a.b) / 2
aire de OBC = (OB * OC) / 2 = (b.c) / 2
aire de OAC = (OA * OC) / 2 = (a.c) / 2

Calcul du volume du tétraède OABC

Le volume d’un putain de tétraèdre, c’est B * h / 3. Avec B la surface d’une base du tétraèdre et h la hauteur du tétraèdre s’appuyant sur cette base.

Comme OABC a des angles droits de partout, on peut prendre comme base le triangle OAB, et comme hauteur correspondante le segment [OC].

Ça nous y fait:

Évidemment, si on part d’un autre triangle O-machin-truc on retombe sur le même résultat. Je vous laisse vérifier ça avec votre cerveau boudiné.

Ah et juste pour faire mon malin: le volume d’un tétraèdre, ça se démontre tout connement, avec une intégrale gribouillée sur un coin de table, entre le fromage, la poire et le cul de la patronne. On prend un point X qui se déplace de O vers C. L’aire du triangle correspondant vaut (aire de OAB) * (x/c)². Hop, intégrale de ce machin pour x variant de 0 à c et crac boum ça y est. Mais on s’en fout un peu.

Détermination de la position du point H.

Le point H sert à fabriquer la hauteur du tétraèdre s’appuyant sur le triangle ABC. Il est super cool ce point, parce qu’après on pourra faire:

Volume = ((aire de ABC) * OH) / 3.

Ce point H est donc placé tel que:

• (OH) _|_ (ABC)
• H ∈ (ABC).

La deuxième ligne avec le E tout bizarre, ça signifie: « H appartient au plan ABC ». Je le précise pour les grosses tanchasses qu’ont oublié leurs cours de maths ou qu’ont fait Littéraire.

Digression: on râle parce que l’histoire-géo va être virée de la terminale Scientifique. Mais personne râle sur le fait que les terminales Littéraire font pratiquement pas de maths ni de physique. Ça me fait bien marrer. Vous allez me répondre que les maths et la physique c’est moins utile que l’histoire-géo. OK d’accord. Mais dans un souci d’équilibrage des deux filières, faudrait que les Littéraires fassent quand-même des trucs un peu scientifiques, et potentiellement utiles; genre de l’informatique généraliste, de la mécanique appliquée à la bagnole, de la logique, de la euh… modélisation de concept avec des langages rigolos comme l’UML. Enfin faut trouver des trucs merde! Parce qu’après on se retrouve avec des gens qui croient que le Scientifique c’est pour les bons élèves et le Littéraire c’est pour les grosses buses. Et le pire c’est qu’ils auraient presque raison ces connards.

Édit 16/06/2013: « Littéraire, Scientifique, Économique et Sociale »: ça s’appelle plus comme ça maintenant, et ça s’appelait pas encore comme ça à la génération précédente. Je comprends jamais rien à leurs trucs, c’est pas grave, c’est l’éducation nationale.

Bon, ça suffit la récréation. On y retourne.

J’aurais aussi besoin du point I, tel que

• (OI) _|_ (AB)
• I ∈ (AB)

Là comme ça, au feeling, on a l’impression que les points I, H et C sont alignées, et que (OH) _|_ (IC), ce qui nous arrangerait vachement pour calculer la longueur OH. Mais bon, il faut quand même le démontrer, sous peine de se faire jeter des cailloux dessus par les grecs.

Héhéhéé! Là, on arrive au moment de la démonstration que je préfère, parce que je fais joujou avec les relations «appartient à», «perpendiculaire», «parallèle», etc. On pourrait presque ne pas s’aider de la figure. Avec uniquement les hypothèses de départ et quelques axiomes tout con, ça se torcheraide tac tac direct.

Allons-y:

• (OAB) _|_ (OC), on l’a dit dès le début

Donc : (AB) _|_ (OC)

Justification: quand une droite est perpendiculaire à un plan, elle est perpendiculaire à toutes les droites appartenant à ce plan.

• (AB) _|_ (OC)
• (AB) _|_ (OI), on l’a dit dès le début

Donc: (AB) _|_ (OCI)

Justification: quand une droite est perpendiculaire à deux droites sécantes, elle est perpendiculaire au plan défini par ces deux droites.

• (AB) _|_ (OCI)
• (AB) ∈ (ABC)         ha ha ha!!! Captain Obvious!! Trop drôle!

Donc: (ABC) _|_ (OCI)

Justification: 2 plans sont perpendiculaires si l’un des plans contient une droite perpendiculaire à l’autre. Ouais ça a l’air bizarre comme truc, mais c’est pas moi qui le dit, c’est wikipedia (http:// fr.wikipedia.org/wiki/Perpendicularit%C3%A9).

Cela dit, wikipedia ajoute que «La notion de plans perpendiculaires, bien qu’intuitive, est très dangereuse car elle ne possède pratiquement aucune propriété». Donc, faites pas les cons avec, OK?

• (ABC) _|_ (OCI)
• (ABC) _|_ (OH), on l’a dit dès le début.

Donc: (OH) // (OCI)

Justification: Quand un plan est perpendiculaire en même temps à une droite et à un autre plan, alors cet autre plan et cette droite sont parallèles.

Justification de la justification: C’est une sorte d’équivalent en 3D du théorème 2D tout con: «Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles entre elles».

• (OH) // (OCI)
• (OH) et (OCI) ont un point en commun (le point O. Ho ho ho).

Donc: (OH) ∈ (OCI)

Justification: faites pas exprès d’être con bordel! Si ça c’est pas un beau Captain Obvious de la mathématique!

O, H ,C et I sont coplanaires. Youpi. Autrement dit:

les points I, H et C ∈ (OIC)

Là comme ça, on pourrait croire que ça sert à rien (comme tout le reste de cet article). Mais attendez la suite.

On continue dans les Captain Obvious super poilants:

• I ∈ (AB), on l’a dit dès le début. Donc I ∈ (ABC)
• H ∈ (ABC), on l’a dit dès le début.
• C ∈ (ABC). Honkr honkr honkr grou grou brouik brouik.

Hop, on claque tout ça ensemble:

• Les points I, H et C ∈ (OIC)
• Les points I, H et C ∈ (ABC)

Donc, ça veut dire que les points I, H et C appartiennent à la droite d’intersection des plans (OIC) et (ABC).

Donc-donc, I, H et C sont alignés!!

Putain, comment je suis trop soulagé de l’apprendre!

Et sinon, juste pour info:

• (IC) ∈ (ABC)
• (OH) _|_ (ABC)

Donc: (OH) _|_ (IC)

Justification: quand une droite est perpendiculaire à un plan, elle est perpendiculaire à toutes les droites appartenant à ce plan. Oui on l’a déjà dit, je sais, faites pas chier.

Voilà. Et maintenant, continuons vers du un peu plus bourrin.

Calcul de la longueur du segment [OH].

Quoi, déjà? Nan attendez, avant il faut calculer la longueur du segment [OI], que l’on appellera «i», car tel est mon bon vouloir.

On oublie toute cette 3D bordélique et on prend juste le triangle OAB.(Avec I dedans).

OAB est un triangle rectangle en O.

OA est l’une de ses hauteurs, OI aussi. (Et la troisième c’est OB, mais osef)

• aire de OAB = (OA * OB) / 2
• aire de OAB = (OI * AB) / 2

Donc: OA * OB = OI * AB

Donc-donc: a * b = i * AB

C’est la fête. Et maintenant on va pouvoir calculer la longueur du segment [OH], que l’on appellera h par souci de dinguerie et de funisme.

On reste dans la 2D, avec cette fois-ci le triangle OIC. Sans oublier le point H, puisqu’on a démontré y’a pas longtemps que H est situé sur la droite (IC) et que (OH) _|_ (IC).

C’est la même démarche que pour le triangle d’avant. Donc je vous le fais un peu plus rapide.

OC * OI = OH * IC

c * i = h * IC

Voilà. On est content.

Calcul de l’aire de ABC, rassemblage de tout le bordel précédent et vérification du théorème.

On appelle «Air » l’aire de ABC. Je sais c’est nul. Je voulais mettre un gros A bien classe, écrit avec une police top tendance, qui ferait genre les majuscules qu’on nous apprend à écrire à l’école primaire et qui font saigner des yeux. Sauf que dans les équations, on peut pas mettre des polices différentes. Donc Fail. Désolé.

Orgie romaine avec de l’alcool et des jolies filles.

Je suis un peu fatigué là. J’ai la migraine. Je vous propose donc une orgie romaine virtuelle chez les Sims:

Pour ceux qui veulent un document mieux foutu

Les équations y sont sous une forme un peu plus réutilisable que des images. Mais y’a pas les belles nanas.

• Au format .sxw, ouvrable avec Open Office .

• Au format pdf.